Энергия заряженных проводника и конденсатора. Объемная плотность энергии электрического поля. Взаимная энергия системы точечных зарядов

1. Энергия системы неподвижных точечных зарядов. Электростатические силы взаимо­действия консервативны (см. § 57); следовательно, система зарядов обладает потенци­альной энергией. Найдем потенциальную энергию системы двух неподвижных точеч­ных зарядов Q 1 и Q 2 , находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией (см. 58.2) и (58.5)):

где j 12 и j 21 - соответственно потенциалы, создаваемые зарядом Q 2 в точке нахожде­ния заряда Q 1 и зарядом Q 1 в точке нахождения заряда Q 2 . Согласно (58.5),

поэтому W 1 = W 2 = W и

Добавляя к системе из двух зарядов последовательно зарядыQ 3 , Q 4 , ... , можно убедиться в том, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

(69.1)

где j i - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q i , всеми зарядами, кроме i -го.

2. Энергия заряженного уединенного проводника. Пусть имеется уединенный провод­ник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равны Q, С, j. Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконеч­ности на уединенный проводник, затратив на это работу, равную

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до j, необходимо совершить работу

(69.2)

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совер­шить, чтобы зарядить этот проводник:

Формулу (69.3) можно получить и из того, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Пола­гая потенциал проводника равным j, из (69.1) найдем

где - заряд проводника.

3. Энергия заряженного конденсатора . Как всякий заряженный проводник, конден­сатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (69.3) равна

где Q - заряд конденсатора, С - его емкость, Dj - разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Используя выражение (69.4), можно найтимеханическую (пондеромоторную ) силу, с которой пластины конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х между пластинами меняется, например, на величину dx. Тогда действующая сила совершает работу dA=F dx вследствие уменьшения потенциальной энергии системы F dx = - dW, откуда

(69.5)

Подставив в (69.4) выражение (69.3), получим

(69.6)

Производя дифференцирование при конкретном значении энергии (см. (69.5) и (69.6)), найдем искомую силу:

где знак минус указывает, что сила F является силой притяжения.

4. Энергия электростатического поля. Преобразуем формулу (69.4), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воспользовав­шись выражением для емкости плоского конденсатора (C=e 0 eS/d ) и разности потенци­алов между его обкладками (Dj =Ed . Тогда

(69.7)

где V= Sd - объем конденсатора. Формула (69.7) показывает, что энергия конден­сатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, - на­пряженность Е.

Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)

(69.8)

Выражение (69.8) справедливо только дляизотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение (62.2):Р = æe 0 Е.

Формулы (69.4) и (69.7) соответственно связывают энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и с напряженностью поля. Возникает, естественно, вопрос о локализа­ции электростатической энергии и что является ее носителем - заряды или поле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Электростатика изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, т. е. в ней поля и обусловившие их заряды неотделимы друг от друга. Поэтому электростатика ответить на поставленные воп­росы не может. Дальнейшее развитие теории и эксперимента показало, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать обособленно, независимо от возбудивших их зарядов, и распространяются в пространстве в виде электромагнитных волн, способных переносить энергию. Это убедительно подтверждает основ­ное положение теории близкодействия о том, что энергия локализована в поле и что носителем энергии является поле.

Глава 10. Постоянный электрический ток

§ 70. Электрический ток, сила и плотность тока

В электродинамике - разделе учения об электричестве, в котором рассматриваются явления и процессы, обусловленные движением электрических зарядов или макроско­пических заряженных тел, - важнейшим понятием является понятие электрического тока. Электрическим током называется любое упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов. В проводнике под действием приложенного электрического поля Е свободные электрические заряды перемещаются: положительные - по полю, отрицательные - против поля (рис. 146, а), т. е. в проводнике возникает электричес­кий ток, называемый током проводимости . Если же упорядоченное движение электрических зарядов осуществляется перемещением в пространстве заряженного макроскопического тела (рис. 146, б), то возникает так называемый конвекционный ток .

Для возникновения и существования электрического тока необходимо, с одной стороны, наличие свободных носителей тока - заряженных частиц, способных переме­щаться упорядоченно, а с другой - наличие электрического поля, энергия которого, каким-то образом восполняясь, расходовалась бы на их упорядоченное движение. За направление тока условно принимают направление движения положительных зарядов.

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I скалярная физи­ческая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени:

Если сила тока и его направление не изменяются со временем, то такой ток называется постоянным . Для постоянного тока

где Q - электрический заряд, проходящий за время t через поперечное сечение провод­ника. Единица силы тока - ампер (А).

Физическая величина, определяемая силой тока, проходящего через единицу площа­ди поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока, называется плотностью тока:

Выразим силу и плотность тока через скорость áv ñ упорядоченного движения зарядов в проводнике. Если концентрация носителей тока равна n и каждый носитель имеет элементарный заряд е (что не обязательно для ионов), то за время dt через поперечное сечение S проводника переносится заряд dQ=ne ávñ S dt. Сила тока

а плотность тока

(70.1)

Плотность тока - вектор, ориентированный по направлению тока, т. е. направление вектора j совпадает с направлением упорядоченного движения положительных зарядов. Единица плотности тока - ампер на метр в квадрате (А/м 2).

Сила тока сквозь произвольную поверхность S определяется как поток вектора j , т. е.

(70.2)

где dS =n dS (n - единичный вектор нормали к площадке dS, составляющей с век­тором j угол a).

§ 71. Сторонние силы. Электродвижущая сила и напряжение

Если в цепи на носители тока действуют только силы электростатического поля, то происходит перемещение носителей (они предполагаются положительными) от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом. Это приведет к выравнива­нию потенциалов во всех точках цепи и к исчезновению электрического поля. Поэтому для существования постоянного тока необходимо наличие в цепи устройства, способ­ного создавать и поддерживать разность потенциалов за счет работы сил неэлект­ростатического происхождения. Такие устройства называютсяисточниками тока. Силы неэлектростатического происхождения, действующие на заряды со стороны источников тока, называютсясторонними.

Природа сторонних сил может быть различной. Например, в гальванических элементах они возникают за счет энергии химических реакций между электродами и электролитами; в генераторе - за счет механической энергии вращения ротора генератора и т. п. Роль источника тока в электрической цепи, образно говоря, такая же, как роль насоса, который необходим для перекачивания жидкости в гидравлической системе. Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические заряды движутся внутри источника тока против сил электростатического поля, благодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепи течет постоянный электрический ток.

Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов. Физи­ческая величина, определяемая работой, совершаемой сторонними силами при переме­щении единичного положительного заряда, называетсяэлектродвижущей силой (э.д.с.), действующей в цепи:

(71.1)

Эта работа производятся за счет энергии, затрачиваемой в источнике тока, поэтому величину можно также называть электродвижущей силой источника тока, включен­ного в цепь. Часто, вместо того чтобы сказать: «в цепи действуют сторонние силы», говорят: «в цепи действует э.д.с.», т. е. термин «электродвижущая сила» употребляет­ся как характеристика сторонних сил. Э.д.с., как и потенциал, выражается в вольтах (ср. (84.9) и (97.1)).

Сторонняя сила F ст, действующая на заряд Q 0 , может быть выражена как

где Е ст - напряженность поля сторонних сил. Работа же сторонних сил по перемещению заряда Q 0 на замкнутом участке цепи равна

(71.2)

Разделив (71.2) на Q 0 , получим выражение для э. д. с., действующей в цепи:

т. е. э.д.с., действующая в замкнутой цепи, может быть определена как циркуляция вектора напряженности поля сторонних сил. Э.д.с., действующая на участке 1 -2 , равна

(71.3)

На заряд Q 0 помимо сторонних сил действуют также силы электростатического поля F e =Q 0 E . Таким образом, результирующая сила, действующая в цепи на заряд Q 0 , равна

Работа, совершаемая результирующей силой над зарядом Q 0 на участке 1 -2 , равна

Используя выражения (97.3) и (84.8), можем записать

(71.4)

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю (см. § 57), поэтому в данном случае

Напряжением U на участке 1 -2 называется физическая величина, определяемая работой, совершаемой суммарным полем электростатических (кулоновских) и сторон­них сил при перемещении единичного положительного заряда на данном участке цепи. Таким образом, согласно (71.4),

Понятие напряжения является обобщением понятия разности потенциалов: напря­жение на концах участка цепи равно разности потенциалов в том случае, если на этом участке не действует Э.д.с., т. е. сторонние силы отсутствуют.

§ 72. Закон Ома. Сопротивление проводников

Немецкий физик Г. Ом (1787;-1854) экспериментально установил, что сила тока I , текущего по однородному металлическому проводнику (т. е. проводнику, в котором не действуют сторонние силы), пропорциональна напряжению U на концах проводника:

(72.1)

где R - электрическое сопротивление проводника.

Уравнение (72.1) выражает закон Ома для участка цепи (не содержащего источника тока): сала тока в проводнике прямо пропорциональна приложенному напряжению и обратно пропорциональна сопротив­лению проводника. Формула (72.1) позволяет установить единицу сопротивления - ом (Ом): 1 Ом - сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет постоянный ток 1 А.

Величина

называется электрической проводимостью проводника. Единица проводимости - сименс (См): 1 См - проводимость участка электрической цепи сопротивлением 1 Ом.

Сопротивление проводников зависит от его размеров и формы, а также от матери­ала, из которого проводник изготовлен. Для однородного линейного проводника сопротивление R прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:

(72.2)

где r - коэффициент пропорциональности, характеризующий материал проводника и называемыйудельным электрическим сопротивлением. Единица удельного элект­рического сопротивления - ом×метр (Ом×м). Наименьшим удельным сопротивлением обладают серебро (1,6×10 –8 Ом×м) и медь (1,7×10 –8 Ом×м). На практике наряду с медными применяются алюминиевые провода. Хотя алюминий и имеет большее, чем медь, удельное сопротивление (2,6×10 –8 Ом×м), но зато обладает меньшей плотностью по сравнению с медью.

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Подставив выражение для сопротивления (72.2) в закон Ома (72.1), получим

(72.3)

где величина, обратная удельному сопротивлению,

называетсяудельной электрической проводимостью вещества проводника. Ее едини­ца - сименс на метр (См/м).

Учитывая, что U /l = Е - напряженность электрического поля в проводнике, I/S = j - плотность тока, формулу (72.3) можно записать в виде

(72.4)

Так как в изотропном проводнике носители тока в каждой точке движутся в направле­нии вектора Е , то направления j и Е совпадают. Поэтому формулу (98.4) можно записать в векторном виде

Выражение (72.5) - закон Ома в дифференциальном форме , связывающий плотность тока в любой точке внутри проводника с напряженностью электрического поля в этой же точке. Это соотношение справедливо и для переменных полей.

Опыт показывает, что в первом приближении изменение удельного сопротивления, а значит и сопротивления, с температурой описывается линейным законом:

где r и r 0 , R и R 0 - соответственно удельные сопротивления и сопротивления провод­ника при t и 0°С, a -температурный коэффициент сопротивления, для чистых металлов (при не очень низких температурах) близкий к 1/273 К –1 . Следовательно, температур­ная зависимость сопротивления может быть представлена в виде

где Т - термодинамическая температура.

Качественный ход температурной зависимости сопротивления металла представлен на рис. 147 (кривая 1 ). Впоследствии было обнаружено, что сопротивление многих металлов (например, Al, Pb, Zn и др.) и их сплавов при очень низких температурах T K (0,14-20 К), называемыхкритическими, характерных для каждого вещества, скачко­образно уменьшается до нуля (кривая 2 ), т. е. металл становится абсолютным провод­ником. Впервые это явление, названное сверхпроводимостью, обнаружено в 1911 г. Г. Камерлинг-Оннесом для ртути. Явление сверхпроводимости объясняется на основе квантовой теории. Практическое использование сверхпроводящих материалов (в об­мотках сверхпроводящих магнитов, в системах памяти ЭВМ и др.) затруднено из-за их низких критических температур. В настоящее время обнаружены и активно исследуют­ся керамические материалы, обладающие сверхпроводимостью при температуре выше 100 К.

На зависимости электрического сопротивления металлов от температуры основано действиетермометров сопротивления, которые позволяют по градуированной взаимо­связи сопротивления от температуры измерять температуру с точностью до 0,003 К. Термометры сопротивления, в которых в качестве рабочего вещества используются полупроводники, изготовленные по специальной технологии, называютсятермисторами. Они позволяют измерять температуры с точностью до миллионных долей кельвин.

§ 73. Работа и мощность тока. Закон Джоуля - Ленца

Рассмотрим однородный проводник, к концам которого приложено напряжение U. За "время dt через сечение проводника переносится заряд dq=I dt. Так как ток представляет собой перемещение заряда dq под действием электрического поля, то, по формуле (84.6), работа тока

(73.1)

Если сопротивление проводника R, то, используя законОма (72.1), получим

(73.2)

Из (73.1) и (73.2) следует, что мощность тока

(73.3)

Если сила тока выражается в амперах, напряжение - в вольтах, сопротивле­ние - в омах, то работа тока выражается в джоулях, а мощность - в ваттах. На практике применяются также внесистемные единицы работы тока: ватт-час (Вт×ч) и киловатт-час (кВт×ч). 1 Вт×ч - работа тока мощностью 1 Вт в течение 1 ч; 1 Вт×ч=3600 Bт×c=3,6×10 3 Дж; 1 кВт×ч=10 3 Вт×ч= 3,6×10 6 Дж.

Если ток проходит по неподвижному металлическому проводнику, то вся работа тока идет на его нагревание и, по закону сохранения энергии,

(73.4)

Таким образом, используя выражения (73.4), (73.1) и (73.2), получим

(73.5)

Выражение (73.5) представляет собойзакон Джоуля -Ленца, экспериментально уста­новленный независимо друг от друга Дж. Джоулем и Э. X. Ленцем.

Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем dV= dS dl (ось цилин­дра совпадает с направлением тока), сопротивление которого По закону Джоуля - Ленца, за время dt в этом объеме выделится теплота

Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема, называется удельной тепловой мощностью тока. Она равна

(73.6)

Используя дифференциальную форму законаОма (j=gЕ) и соотношение r= 1/g, получим

(73.7)

Формулы (73.6) и (73.7) являются обобщенным выражениемзакона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, пригодным для любого проводника.

Тепловое действие тока находит широкое применение в технике, которое началось с открытия в 1873 г. русским инженером А. Н. Лодыгиным (1847-1923) лампы накаливания. На нагревании проводников электрическим током основано действие элект­рических муфельных печей, электрической дуги (открыта русским инженером В. В. Петровым (1761-1834)), контактной электросварки, бытовых электронагрева­тельных приборов и т. д.

§ 74. Закон Ома для неоднородного участка цепи

Мы рассматривали закон Ома (см. (98.1)) для однородного участка цепи, т. е. такого, в котором не девствует э.д.с. (не действуют сторонние силы). Теперь рассмотрим неоднородный участок цепи, где действующую э.д.с. на участке 1 -2 обозначим через а приложенную на концах участка разность потенциалов - через j 1 -j 2 .

Если ток проходит по неподвижным проводникам, образующим участок 1-2, то работа А 12 всех сил (сторонних и электростатических), совершаемая над носителями тока, по закону сохранения и превращения энергии равна теплоте, выделяющейся на участке. Работа сил, совершаемая при перемещении заряда Q 0 на участке 1 -2 , согласно (71.4),

Э.д.с. как и сила тока I , - величина скалярная. Ее необходимо брать либо с положительным, либо с отрицательным знаком в зависимости от знака работы, совершаемой сторонними силами. Если э.д.с. способствует движению положительных зарядов в выбранном направлении (в направлении 1-2 ), то > 0. Если э.д.с. препятствует движению положительных зарядов в данном направлении, то < 0.

За время t в проводнике выделяется теплота (см. (73.5))

Из формул (74.1) и (74.2) получим

(74.4)

Выражение (74.3) или (74.4) представляет собойзакон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме, который являетсяобобщенным законом Ома.

Если на данном участке цепи источник тока отсутствует (=0), то из (74.4) приходим к закону Ома для однородного участка цепи (72.1):

(при отсутствии сторонних сил напряжение на концах участка равно разности потенци­алов (см. § 71)).

Если же электрическая цепь замкнута, то выбранные точки 1 и 2 со­впадают, j 1 =j 2 ; тогда из (74.4) получаем закон Ома для замкнутой цепи:

где - э.д.с., действующая в цепи, R - суммарное сопротивление всей цепи. В общем случае R=r+R 1 , где r - внутреннее сопротивление источника тока, R 1 - со­противление внешней цепи. Поэтому законОма для замкнутой цепи будет иметь вид

Если цепь разомкнута и, следовательно, в ней ток отсутствует (I = 0), то из закона Ома (74.4) получим, что =j 1 -j 2 , т. е. э.д.с., действующая в разомкнутой цепи, равна разности потенциалов на ее концах. Следовательно, для того чтобы найти э.д.с. источника тока, надо измерить разность потенциалов на егоклеммах при разомкнутой цепи.

Энергия заряженного проводника численно равна работе, которую должны со­вершить внешние силы для его зарядки W=A. При перенесении заряда dq из бесконечности на проводник совершается ра­бота dA против сил электростатического поля (по преодолению кулоновских сил отталки­вания между одноименными зарядами) : dA=jdq=Cjdj.

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до потенциала j, потребуется ра­бота . Энергия заряженного проводника равна той работе, которую надо совершить, чтобы зарядить его: .

Выражение принято называть собственной энергией заряженного про­водника .

Увеличение потенциала j проводника при его зарядке сопровождается усиле­нием электростатического поля, возрастает напряженность поля . Естественно предположить, что собственная энергия заряженного проводника есть энергия его электростатического поля. Проверим это предположение на примере однородного поля плоского конденсатора. Повторяя ход вышеприведенного расчета, нетрудно получить энергию заряженного плоского конденсатора ,

где Dj - разность потенциалов его обкладок. Подставим в эту формулу выражения для емкости плоского конденсатора и разности потенциалов между обкладками . Тогда для энергии получим , где V=Sd - объем электростатического поля между обкладками конденсатора.

Отсюда следует, что собственная энергия заряженного плоского конденсатора пропорциональна V объему его поля и на­пря­женности . Следовательно, необходимо считать, что электростатическое поле обладает энергией. Объемная плотность энергии электрического поля или энергия единицы объема равна , . Где же локализована энергия электростатического поля и что является ее но­си­телем - заряды или само поле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Од­нако электростатика не может ответить на данный вопрос, потому что она изучает посто­янные во времени поля неподвижных зарядов, т.е. в электростатике поля и за­ряды неотделимы друг от друга.

Опыты показали, что переменные во времени электрические поля могут суще­ствовать обособленно, независимо от возбудивших их зарядов. Они распространя­ют­ся в пространстве в виде волн, способных переносить энергию. Отсюда следует, что энергия локализована в поле и носителем электрической энергии является поле.

Энергия заряженного уединенного проводника

Если заряды распределены в теле непрерывно, то суммирование заменяем на интегрирование. Если учесть, что для проводника j = const и использовать выражение для емкости проводника С=q/j, можно получить различные выражения для энергии проводника.

Энергия заряженного конденсатора

Рассмотрим две параллельные одинаковые незаряженные пластины, Мысленно перенесем с одной пластины на другую бесконечно малый заряд +dq. Для этого не требуется никакой работы, т.к. пластина пока не заряжена. После этого пластины окажутся разноименно заряженными, и между ними появится разность потенциалов Dj. Для переноса следующей «порции» заряда уже требуется работа. Элементарная работа внешних сил по перенесению малого заряда dq с обкладки 2 конденсатора на обкладку 1:

Работа, которую надо затратить, чтобы зарядить конденсатор зарядом q, получается путем интегрирования.

Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до q

Так как А=DW, то энергия заряженного конденсатора

Энергия электростатического поля

Получим формулы для энергии, выразив ее через характеристики электрического поля, существующего вокруг заряженных тел: напряженность Е и электрическую индукцию D. Рассмотрим плоский конденсатор, считая поле между обкладками однородным. Энергия заряженного конденсатора

подставим в эту формулу выражение для емкости плоского конденсатора, получим

Обобщим полученные результаты на случай неоднородного поля. Введем понятие объемной плотности энергии. Объемная плотность энергии - это энергия, приходящаяся на единицу объема пространства

Объемная плотность энергии электростатического поля плоского конденсатора w

где D = e0eE – электрическое смещение.

Запас энергии в элементарном объеме dV, т.е. в таком малом объеме, в пределах которого Е=const

Энергия электрического поля заряженного плоского конденсатора

Взаимная энергия системы точечных зарядов.

Потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2, находящихся в вакууме на расстоянии r12 друг от друга можно вычислить по:

Рассмотрим систему, состоящую из N точечных зарядов: q1, q2,..., qn.

Энергия взаимодействия такой системы равна сумме энергий взаимодействия зарядов взятых попарно:

(2)

В формуле 2 суммирование производится по индексам i и k (i№k). Оба индекса пробегают, независимо друг от друга, значения от 0 до N. Слагаемые, для которых значение индекса i совпадает со значением индекса k не учитываются. Коэффициент 1/2 поставлен потому, что при суммировании потенциальная энергия каждой пары зарядов учитывается дважды. Формулу (2) можно представить в виде:

где ji - потенциал в точке нахождения i-го заряда, создаваемый всеми остальными зарядами:

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов, вычисляемая по формуле (3), может быть как положительной, так и отрицательной. Например она отрицательная для двух точечных зарядов противоположного знака.

Формула (3) определяет не полную электростатическую энергию системы точечных зарядов, а только их взаимную потенциальную энергию. Каждый заряд qi, взятый в отдельности обладает электрической энергией. Она называется собственной энергией заряда и представляет собой энергию взаимного отталкивания бесконечно малых частей, на которые его можно мысленно разбить. Эта энергия не учитывается в формуле (3). Учитывается только работа затрачиваемая на сближение зарядов qi, но не на их образование.

Полная электростатическая энергия системы точечных зарядов учитывает также работу, на образование зарядов qiиз бесконечно малых порций электричества, переносимых из бесконечности. Полная электростатическая энергия системы зарядов всегда положительная. Это легко показать на примере заряженного проводника. Рассматривая заряженный проводник как систему точечных зарядов и учитывая одинаковое значение потенциала в любой точке проводника, из формулы (3) получим.

1.1.7. Теорема гаусса в интегральной форме и ее применение к расчету электрических полей

1.1.8. Теорема гаусса в дифференциальной форме. Дивергенция векторного поля

1.1.9.Потенциальный характер электростатического поля. Работа сил поля при перемещении зарядов. Циркуляция и ротор векторного поля. Теорема стокса в интегральной и дифференциальной форме

1.1.10.Потенциал электростатического поля. Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле

1.1.11. Связь между напряженностью и потенциалом

1.1.12. Уравнение пуассона и лапласа для потенциала

1.1.13. Эквипотенциальные поверхности

Лекция 2

1.2. Диэлектрики в электрическом поле

1.2.1.Полярные и неполярные молекулы

1.2.2. Диполь во внешнем электрическом поле

1.2.3 Поляризация диэлектриков. Ориентационный и деформационный механизмы поляризации. Дипольный момент системы зарядов. Диэлектрическая восприимчивость для полярных и неполярных диэлектриков

1.2.5. Вектор электрического смещения (электростатической индукции). Диэлектрическая проницаемость диэлектриков

1.2.6. Граничные условия для векторов напряженности электрического поля и электрического смещения

1.2.7. Примеры расчета электрических полей в диэлектриках

1.2.8. Силы, действующие на заряд в диэлектрике

1.3.Проводники в электрическом поле

1.3.1. Равновесие зарядов на приводнике. Основная задача электростатики проводников. Эквипотенциальные поверхности и силовые линии электростатического поля между проводниками

1.3.2.Проводник во внешнем электрическом поле. Электростатическая защита

1.3.3.Электроемкость проводников

1.3.4. Электроемкость конденсаторов

1.3.5. Соединения конденсаторов

1.4.Энергия электрического поля

1.4.1.Энергия взаимодействия электрических зарядов. Теорема ирншоу

1.4.2. Энергия заряженного проводника

1.4.3. Энергия заряженного конденсатора. Объемная плотность энергии электростатического поля

1.4.4.Энергия поляризованного диэлектрика. Объемная плотность энергии электрического поля в диэлектрике

1.4.5. Энергия системы заряженных проводников

1.4.6. Закон сохранения энергии для электрического поля в несегнетоэлектрической среде

1.4.2. Энергия заряженного проводника

Заряжая некоторый проводник, необходимо совершить определенную работу против кулоновских сил отталкивания между одноименными электрическими зарядами. Эта работа идет на увеличение электрической энергии заряженного проводника, которая в данном случае аналогична потенциальной энергии в механике.

Рассмотрим проводник, имеющий электроемкость , заряди потенциал. Работа, совершаемая против сил электростатического поля при перенесении заряда
из бесконечности на проводник равна

.

Для того, чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до потенциала , необходимо совершить работу
. Ясно, что энергия заряженного тела равна той работе, которую нужно совершить, чтобы зарядить это тело:
.

Энергию называют собственной энергией заряженного тела. Ясно, что собственная энергия есть не что иное, как энергия электростатического поля этого тела.

1.4.3. Энергия заряженного конденсатора. Объемная плотность энергии электростатического поля

Пусть потенциал обкладки конденсатора, на которой находится заряд
, равен, а потенциал обкладки, на которой находится заряд
,. Энергия такой системы зарядов, то есть равна собственной энергии системы зарядов, где- напряжение между обкладками конденсатора,
.

Рассмотрим плоский конденсатор. Энергия, заключенная в единице объема электростатического поля называется объемной плоскостью энергии. Эта объемная плоскость должна быть одинаковой во всех точках однородного поля, а полная энергия поля пропорциональна его объему. Известно, что
,
, тогда для энергии имеем:
, но
- объем электростатического поля между обкладками конденсатора, то есть
. Тогда объемная плотность энергииоднородного электростатического поля конденсатора равна
, и определяется его напряженностью или смещением. В случае неоднородных электрических полей

Найдем энергию сферического конденсатора. На расстоянии от центра заряженного шара напряженность его электростатического поля равна
. Рассмотрим бесконечно тонкий шаровой слой, заключенный между сферами радиусови
. Объем такого слоя:
. Энергия слоя
следовательно,

.

Тогда полная энергия заряженного шара равна:

,

где - радиус шара. Емкость шара
, следовательно,
- энергия электростатического поля сферического конденсатора равна его собственной энергии, так как заряженное тело потому и обладает электрической энергией, что при его зарядке была совершена работа против сил создаваемого им электростатического поля.

1.4.4.Энергия поляризованного диэлектрика. Объемная плотность энергии электрического поля в диэлектрике

Рассмотрим однородный изотропный диэлектрик, находящийся во внешнем электрическом поле. Процесс поляризации связан с работой по деформации электронных орбит в атомах и молекулах и по повороту осей молекул-диполей вдоль поля. Ясно, что поляризованный диэлектрик должен обладать запасом электрической энергии.

Если поле напряженностью создано в вакууме,
, то объемная плотность энергии этого поля в точке с напряженностьюравна:

Докажем, что объемная плотность энергии поляризованного диэлектрика в этой точке выражается формулой:
.

Рассмотрим диэлектрик с неполярными молекулами. Молекулы такого диэлектрика являются упругими диполями. Электрический момент упругого диполя, находящегося в поле с напряженностью , равен
, где- поляризуемость диполя, или в скалярной форме:

, (1.4.1)

где
- заряд и плечо диполя.

На заряд со стороны поля действует сила
, которая при увеличении длины диполя на
совершает работу
. Из выражения (1.4.1) получаем:
, поэтому

. (1.4.2)

Чтобы найти работу поля при деформации одного упругого диполя, надо проинтегрировать выражение (1.4.2):

.

Работа равна той потенциальной энергии, которой обладает упругий диполь в электрическом поле напряженностью. Пусть- число диполей в единице объема диэлектрика. Тогда потенциальная энергия всех этих диполей, то есть объемная плотность энергии поляризованного диэлектрика равна:
. Однако
- модуль вектора поляризации, тогда
. Известно, что
, и
, тогда
, что и требовалось доказать.

Согласно определению потенциала (12.17), энергию взаимодействия системы п неподвижных точечных зарядов (/ = 1 ,п) можно определить

где ф, - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд, всеми зарядами, кроме /-го. Если заряд распределен в пространстве непрерывно с объемной плотностью р = р(г), то элемент объема dV будет иметь заряд dq - pdV. Тогда энергия системы определяется уравнением

|

где V - весь объем, занимаемый зарядом.

Определим энергию заряженного уединенного проводника произвольной формы, заряд, емкость и потенциал которого равны соответственно q, С, ф. Потенциал во всех точках уединенного проводника одинаков. Зная ф, найдем его энергию как

или, используя С = q/q> (формула (12.40)), найдем

Можно доказать, что электрическая энергия системы из п неподвижных заряженных проводников

где OjdS, поскольку в проводнике избыточные заряды распределе-

ны по его внешней поверхности, о, - поверхностная плотность сторонних зарядов на малом элементе поверхности /-го проводника площадью dS. Интегрирование проводится по всей эквипотенциальной внешней поверхности проводника площадью 5). Таким образом, формулу (13.26в) перепишем в виде

где Sj - поверхность заряженных проводников.

В общем случае электрическую энергию любой системы заряженных неподвижных тел - проводников и непроводников - можно найти по формуле

где ф - потенциал результирующего поля всех сторонних и связанных зарядов в точках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объемов; аир- соответственно поверхностная и объемная плотности сторонних зарядов. Интегрирование проводится по всем заряженным поверхностям S и по всему заряженному объему Стел системы.

Согласно формуле (13.28), если заряд распределен непрерывно, то необходимо разбить заряд каждого тела на бесконечно малые элементы odS или рdV и каждый из них умножить на потенциал ф, создаваемый не только зарядами других объектов, но и элементами заряда этого тела.

Расчет по формуле (13.28) позволяет вычислить полную энергию взаимодействия, поскольку получаем величину, равную сумме энергий взаимодействия заряженных неподвижных тел и их собственных энергий.

Собственная энергия заряженного тела - это энергия взаимодействия друг с другом элементов данного заряженного тела.

Энергию W можно трактовать как потенциальную энергию системы заряженных тел, обусловленную кулоновскими силами их взаимодействия. Влияние среды на энергию системы при неизменном распределении сторонних зарядов таково, что значения потенциалов ф в разных диэлектриках различны. Например, в однородном, изотропном диэлектрике, заполняющем все поле, ф меньше, чем в вакууме, в? раз.

Из формулы (13.28) можно получить также формулу для электрической энергии конденсатора (р = 0):

где -S") и xSj - площади обкладок конденсатора; q = CU .

Изучение переменных электромагнитных полей (тема 20) показало, что они могут существовать отдельно от породивших их систем электрических зарядов и токов, а их распространение в пространстве в виде электромагнитных волн связано с переносом энергии. Так, было доказано, что электромагнитное поле обладает энергией. Соответственно и электростатическое поле обладает энергией, которая распределена в поле с объемной плотностью w e .

Объемная плотность энергии электростатического поля w e в случае однородных полей вычисляется по формуле

Для неоднородных полей справедливо выражение

где dW - энергия малого элемента dV объема поля, в пределах которого величину объемной плотности электростатического поля w e можно считать всюду одинаковой.

Единица объемной плотности энергии электрического поля в СИ - джоуль на метр в кубе (Дж/м 3).

Объемная плотность энергии электростатического поля в изотропной диэлектрической среде (или вакууме)

где D - электрическое смешение. Согласно уравнению (13.12а), D = ce 0 E .

Необходимо отметить, что формулы (13.25) - (13.28а) справедливы для потенциальных электростатических полей, т.е. полей неподвижных заряженных тел.

Для переменных непотенциальных электрических полей понятие потенциала и построенные на его основе выражения для энергии лишены смысла. Эти поля обладают энергией, которую можно найти, пользуясь универсальной формулой, справедливой как для однородного, так и для неоднородного поля:

где V - объем, занимаемый полем.

Энергия поляризованного диэлектрика. Как следует из формулы (13.31), объемная плотность энергии электростатического поля в вакууме

При той же напряженности Е поля в диэлектрической среде объемная плотность энергии поля в г раз больше, чем в вакууме:

Поэтому объемная плотность энергии и> диэл поляризованного диэлектрика определяется как

где Р = х? о^ - поляризованность диэлектрика; х - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.

Пондеромоторные силы. Пондеромоторные силы - это механические силы, которые действуют на заряженные тела, помещенные в электрическое поле. Под действием данных сил поляризованный диэлектрик деформируется - это явление называется электрострикцией. Причиной возникновения пондеромоторных сил является действие неоднородного электрического поля на дипольные молекулы поляризованного диэлектрика. Эти силы обусловлены неоднородностью макрополя, а также микрополя, создаваемого в основном ближайшими молекулами поляризованного диэлектрика.

Рассмотрим, например, заряженный плоский конденсатор (см. рис. 12.18), отключенный от источника (постоянные заряды на обкладках). Введем в него диэлектрик с диэлектрической проницаемостью z таким образом, чтобы между ним и пластинами конденсатора не было даже тонкого зазора (иначе силы электрострикции не передавались бы пластинам и сила взаимодействия между пластинами не менялась бы при введении диэлектрика). Под действием пондеромоторной силы обкладки конденсатора сжимают пластину диэлектрика, помещенного между ними, и в диэлектрике возникает давление.

Если расстояние между пластинами уменьшается на dx, то механическая работа

где F x - проекция силы притяжения F между пластинами конденсатора на положительное положение осиХ. Изменение энергии поля

где S - площадь поверхности обкладки конденсатора.

Согласно закону сохранения энергии, механическая работа сил электрического поля равна уменьшению его энергии. Тогда пондеромоторная сила (сила, действующая на единицу поверхности пластины)

т.е. будет равна объемной плотности энергии электрического поля.